2020/10/24 15:16 更新
複素平面とシュタイナー・レームスの定理
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目次

複素平面上でシュタイナー・レームスの定理を確認します。

※ 図は Markdown に SVG を直接記述しています。詳細はこちらをご参照ください。

前提知識

以下の記事で説明した技法を応用します。

シュタイナー・レームスの定理

A B C D E

$△ABC$ の 2 つの頂点 $B,C$ から二等分線を引いて、それぞれ辺との交点を $D,E$ とします。このとき二等分線 $BD,CE$ の長さが等しければ $△ABC$ は二等辺三角形となります。これをシュタイナー・レームスの定理と呼びます。

$$BD=CE\ \Rightarrow\ AB=AC$$

これが成り立つことを確認します。

$A,B,C,D,E$ を複素平面上の点として、すべて異なるとします。

$∠B$ と $∠C$ の二等分線をパラメーター表示します。

$$\begin{aligned} s:=\frac{|D-A|}{|C-A|},\quad t:=\frac{|E-A|}{|B-A|} \end{aligned} \\ \begin{aligned} D-B&=(1-s)(A-B)+s(C-B) \\ E-C&=(1-t)(A-C)+t(B-C) \end{aligned}$$

角の二等分線の性質より、以下の関係が成り立ちます。👉参照

$$\begin{aligned} (1-s)|A-B|&=s|C-B|,& s&=\frac{|A-B|}{|C-B|+|A-B|} \\ (1-t)|A-C|&=t|B-C|,& t&=\frac{|A-C|}{|B-C|+|A-C|} \\ \end{aligned} \\ \begin{aligned} |D-B|^2&=|A-B||C-B|-\underbrace{s|C-A|}_{AD}\,\underbrace{(1-s)|C-A|}_{DC} \\ |E-C|^2&=|A-C||B-C|-\underbrace{t|B-A|}_{AE}\,\underbrace{(1-t)|B-A|}_{EB} \end{aligned}$$

式に現れる $|B-C|,|C-A|,|A-B|$ は実数のため、ここから先は実数の計算です。

省力化のため、文字を置き換えます。

$$\begin{aligned} a:=|B-C|,\quad b:=|C-A|,\quad c:=|A-B| \end{aligned} \\ \begin{aligned} (a>0,\quad b>0,\quad c>0) \end{aligned} \\ \begin{aligned} |D-B|^2&=ca-\frac{ab^2c}{(a+c)^2} \\ |E-C|^2&=ba-\frac{abc^2}{(a+b)^2} \end{aligned}$$

二等分線 $BD,CE$ の長さが等しいことより

$$\begin{aligned} |D-B|&=|E-C| \end{aligned}$$

両辺を 2 乗して、左辺から右辺を引いて計算します。

$$\begin{aligned} &|D-B|^2-|E-C|^2=0 \\ &c\cancel{a}-\frac{\cancel{a}b^2c}{(a+c)^2}-b\cancel{a}+\frac{\cancel{a}bc^2}{(a+b)^2}=0 \\ &c\frac{(a+c)^2-b^2}{(a+c)^2}-b\frac{(a+b)^2-c^2}{(a+b)^2}=0 \\ &c\frac{\cancel{(a+b+c)}(a-b+c)}{(a+c)^2}-b\frac{\cancel{(a+b+c)}(a+b-c)}{(a+b)^2}=0 \\ &\frac{c}{a+c}-\frac{bc}{(a+c)^2}-\frac{b}{a+b}+\frac{bc}{(a+b)^2}=0 \\ &\frac{c(a+b)-b(a+c)}{\cancel{(a+b)(a+c)}}-bc\frac{(a+b)^2-(a+c)^2}{(a+b)^{\cancel2}(a+c)^{\cancel2}}=0 \\ &ca+\cancel{cb}-ba-\cancel{bc}-bc\frac{\cancel{a^2}+2ab+b^2-\cancel{a^2}-2ac-c^2}{(a+b)(a+c)}=0 \\ &a(b-c)+bc\frac{2a(b-c)+(b+c)(b-c)}{(a+b)(a+c)}=0 \\ &(b-c)\left\{a+bc\frac{2a+b+c}{(a+b)(a+c)}\right\}=0 \\ &\therefore b=c \quad\left(\because a+bc\frac{2a+b+c}{(a+b)(a+c)}>0\right) \end{aligned}$$

よって $△ABC$ は二等辺三角形となり、シュタイナー・レームスの定理が示せました。

絶対値の関係に持ち込んだ時点で実数の計算になるため、後半は複素平面と関係がない計算となりました。

感想

以下のツイートでシュタイナー・レームスの定理を知りました。

幾何代数の技法を使えばどうなるかに興味を持ちました。しかし既存の証明を参考にしたにも関わらず、複素平面での計算に書き換えるのに10日ほど掛かってしまいました。

立式はすぐできるのですが、それをどう式変形すれば何が得られるのかがはっきりせず、試行錯誤しました。二等辺三角形と二等分線の性質に立ち返って一つずつ幾何代数に書き換えることで、ようやく既存の証明との対応を付けることができました。

実際の問題に適用するためのノウハウがなかったため苦戦しましたが、今回の調査を通してある程度は基本的なパターンが見えて来ました。

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同様の手法で円周角の定理を確認します。

参考