エネルギー・運動量テンソル

Maxwell方程式

$$\tag{1.1} \partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0j^\nu$$$$\tag{1.2} \epsilon_{\kappa\lambda\mu\nu}\partial^{\lambda}F^{\mu\nu} = 0$$

式（1.2）について（ピアンキ恒等式）

$$\epsilon_{\kappa\lambda\mu\nu}\partial^{\lambda}F^{\mu\nu} = \epsilon_{\kappa\mu\nu\lambda}\partial^{\mu\nu}F^{\lambda} = \epsilon_{\kappa\lambda\mu\nu}\partial^{\mu\nu}F^{\lambda}$$

のように，$\lambda,\,\mu,\,\nu\,$の入れ替えを考えると

$$\tag{1.3}\partial^{\lambda}F^{\mu\nu} + \partial^{\mu}F^{\nu\lambda} + \partial^{\nu}F^{\lambda\mu}=0 $$

を得る（後で使う）。

式（1.1）の変形

こいつを変形してエネルギー・運動量テンソルを導出する。エネルギーはスカラーなので両辺に
$F_{\nu\lambda}\,$をかけたい気持ちになる。

$$\tag{☆}(\partial_{\mu}F^{\mu\nu})F_{\nu\lambda} = \mu_0j^{\nu}F_{\nu\lambda}$$

右辺はこのままで放置。 左辺全体を微分でまとめたい（今のままだと微分とそうでないものの組み合わせになっててよくわからない）。つまり，

$$ \tag{1.4} (\partial_{\mu}F^{\mu\nu})F_{\nu\lambda} = \partial_{\mu}(F^{\mu\nu}F_{\nu\lambda}) - F^{\mu\nu}\partial_{\mu}F_{\nu\lambda}$$

でも，右辺第二項がまだ全微分の形になっていないので不便 （第二項だけで積の微分の公式が使える形を目指したい）＆ (3)式を使いたい
（でないと情報が不足する）。 ということから，ピアンキ恒等式を用いて

$$\tag{1.5} -F^{\mu\nu}\partial_{\mu}F_{\nu\lambda} = F^{\mu\nu}(\partial_{\nu}F_{\lambda\mu} + \partial_{\lambda}F_{\mu\nu}) = F^{\mu\nu}\partial_{\nu}F_{\lambda\mu} + F^{\mu\nu}\partial_{\lambda}F_{\mu\nu}$$

と変形するのが自然。これでMaxwell方程式の情報は全て取り入れたことになる。

ここで，最右辺第二項
は$\mu\nu$の下付きと上付きが両方あり，第一項には上付きがあるから，

$$F_{\mu\nu}\partial_{\lambda}F^{\mu\nu}$$

という項を生成すれば微分でくくれるなーと思える。

これをもとにして，

$$F^{\mu\nu}\partial_{\lambda}F_{\mu\nu} = \frac{1}{2} (F^{\mu\nu}\partial_{\lambda}F_{\mu\nu} + F^{\mu\nu}\partial_{\lambda}F_{\mu\nu}) = \frac{1}{2} (F^{\mu\nu}\partial_{\lambda}F_{\mu\nu} + F_{\mu\nu}\partial_{\lambda}F^{\mu\nu}) =\frac{1}{2} \partial_{\lambda} (F^{\mu\nu}F_{\mu\nu})$$

と変形できる。残りの項も同じ形にしたいので，

$$F^{\mu\nu}\partial_{\nu}F_{\lambda\mu} = \frac{1}{2} ( F^{\mu\nu}\partial_{\nu}F_{\lambda\mu} + F^{\mu\nu}\partial_{\nu}F_{\lambda\mu} ) = \frac{1}{2} ( F^{\mu\nu}\partial_{\nu}F_{\lambda\mu} + F^{\mu\nu}\partial_{\mu}F_{\nu\lambda} ) =- \frac{1}{2} ( F^{\mu\nu}\partial_{\lambda}F_{\mu\nu} ) = -\frac{1}{4}\partial_{\lambda} (F^{\mu\nu}F_{\mu\nu})$$

とする。この変形のモチベーションとして，

• $F^{\mu\nu}$はどうしようもないから，微分でくくるためにはさっきと同じ形を作るしかない。
• 偏微分に$\lambda$を押し付けるにはピアンキ恒等式を用いるしかない。

という感じ。この変形の際に，

$$F^{\mu\nu}\partial_{\nu}F_{\lambda\mu} = -F^{\mu\nu}\partial_{\nu}F_{\mu\lambda} = \overbrace{-F^{\nu\mu}\partial_{\mu}F_{\nu\lambda}}^{\muと\nuを逆にした} = F^{\mu\nu}\partial_{\mu}F_{\nu\lambda}$$

を用いた。これでめでたくピアンキ恒等式を使える。結局(1.5)式は

$$-F^{\mu\nu}\partial_{\mu}F_{\nu\lambda} = \frac{1}{4}\partial_{\lambda}(F^{\mu\nu}F_{\mu\nu})$$

と微分でくくれる！よって(☆)は

$$\partial_{\mu}(F^{\mu\nu}F_{\nu\lambda} + \frac{1}{4}\delta_{\lambda}^{\mu}(F^{\kappa\nu}F_{\kappa\nu}))$$

となる。ここで，縮約を取る文字が足と重ならないように変更した。これは下付き$\lambda$の一階テンソル。
上付きの足がデフォルトだったので，計量テンソル$g^{\lambda\nu}$をかけてやる（これはとても自然）。縮約の文字が重ならないように変更して

$$\tag{1.6}\partial_{\mu}(F^{\mu\kappa}g^{\lambda\nu}F_{\kappa\lambda} + \frac{1}{4}g^{\lambda\nu}\delta_{\lambda}^{\mu}(F^{\kappa\nu}F_{\kappa\nu})) = \partial_{\mu}(-F^{\mu\kappa}F^{\nu\lambda}g_{\kappa\lambda} + \frac{1}{4}g^{\mu\nu}F^{\kappa\nu}F_{\kappa\nu})$$

と反変テンソルにする。これこそがエネルギー・運動量テンソルに真空の透磁率をかけたものの微分であり，その中身を

$$-F^{\mu\kappa}F^{\nu\lambda}g_{\kappa\lambda} + \frac{1}{4}g^{\mu\nu}F^{\kappa\nu}F_{\kappa\nu} = \mu_0 T^{\mu\nu}$$

と定義する。

式(1.6)の変形について

この式の変形のお気持ちを説明しよう。そもそも(一階の)テンソルとは，次の変換規則を満たすものであった：

$$\tag{2.1}x_{\mu} = g_{\mu\nu}x^{\nu}$$

つまり，反変ベクトルに計量テンソルと呼ばれる特別な量を1回かければ足の位置が上から下に変わる。逆に，

$$\tag{2.2}x^{\mu} = g^{\mu\nu}x_{\nu}$$

である。ここで，$g^{\mu\nu} =(g^{-1}_{\mu\nu})^t$である。転置がついている理由としては，(2.2)式の右辺は列と列の積をとっていることになり，通常の意味での行列の積となっていない。そのため，（行列の積とみるのなら）転置しているとみなす必要がある。

これと同じように二階のテンソルは，

$$F_{\mu\nu} = g_{\mu\rho}g_{\sigma\nu}F^{\rho\sigma}$$

と変換されるものである。そして，テンソルは上付きがデフォルトだったので，下付きのテンソルはできるだけさけたい。
ということで，(1.6)式の中にでてくる

$$g^{\lambda\nu}F_{\kappa\lambda}$$

の$F$を反変テンソルにしたいわけだ。そのために

$$g^{\lambda\nu}F_{\kappa\lambda} = g^{\lambda\nu}g_{\kappa\rho}g_{\sigma\lambda}F^{\rho\sigma} = \delta^{\nu}_{\sigma}g_{\kappa\rho}F^{\rho\sigma} = g_{\kappa\rho}F^{\rho\nu} = -F^{\nu\rho}g_{\kappa\rho}$$

という変形をした。こうすればみやすくなる。

最後のひとおし

(☆)の左辺を反変テンソルにしたものはこれで終了である。右辺は今まで放置してきたので，少しだけ見てやる。
とはいっても，先ほど議論したことを繰り返すだけで，

$$g^{\lambda\nu}(\mu_0j^{\nu}F_{\nu\lambda}) = \mu_0j^{\kappa}g^{\lambda\nu}g_{\kappa\rho}g_{\sigma\lambda}F^{\rho\sigma} = \mu_0j^{\kappa}\delta^{\nu}_{\sigma}g_{\kappa\rho}F^{\rho\sigma} = \mu_0j^{\kappa}g_{\kappa\rho}F^{\rho\nu} = \mu_0j_{\rho}F^{\rho\nu}$$

まとめ

今までの議論によって，Maxwell方程式

$$ \partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0j^\mu$$$$\epsilon_{\kappa\lambda\mu\nu}\partial^{\lambda}F^{\mu\nu} = 0$$

からエネルギー・運動量テンソル

$$\mu_0T^{\mu\nu} \equiv -F^{\mu\kappa}F^{\nu\lambda}g_{\kappa\lambda} + \frac{1}{4}g^{\mu\lambda}F^{\kappa\nu}F_{\kappa\nu}$$

を定義すると

$$\partial_{\mu}T^{\mu\nu} = \mu_0j_{\rho}F^{\rho\nu}$$

を導出できました。お気持ちはこんな感じ。