$$\gdef\Re{\operatorname{Re}} \gdef\Im{\operatorname{Im}}$$

まえがき

この記事では，代数体$k$における単数規準$R_{k}$の定義に関する事柄について説明します．

コメント 1: 単数規準

この記事では，私の手元にある文献に合わせて，「単数規準」という表記を使用しましたが，巷間では「単数基準」という表記も使用されているようです．

状況設定

1. $k$：$n$次体（$\mathbb{Q}$上$n$次の拡大体）
2. $r_{1}$：$k$の実埋込の数，$2r_{2}$：$k$の虚埋込の数
3. 写像$\ell^{\sharp}$： $$\ell^{\sharp} \colon \begin{array}{ccc} \mathcal{O}_{k}^{\times} \hspace{-7.5pt}& \longrightarrow \hspace{-7.5pt}& \mathbb{R}^{r_{1}+r_{2}}\\[5pt] \alpha \hspace{-7.5pt}&\longmapsto\hspace{-7.5pt}& (\log \lvert \alpha^{(1)}\rvert, \ldots, \log \lvert \alpha^{(r_{1})}\rvert, \log \lvert \alpha^{(r_{1}+1)} \rvert^{2}, \ldots, \log \lvert \alpha^{(r_{1} + r_{2})}\rvert^{2}) \end{array}$$ここで，$\alpha^{(i)}$は$\alpha$の$i$番目の共役とし，以下を満たすように付番されているとします．

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• $\alpha^{(1)}, \ldots, \alpha^{(r_{1})}$は実埋込$\sigma_{i}$による共役を表す
• $\alpha^{(r_{1}+1)}, \ldots, \alpha^{(r_{1}+r_{2})}, \alpha^{(r_{1} + r_{2} + 1)}, \ldots, \alpha^{(r_{1} + r_{2} + r_{2})}$は虚埋込$\sigma_{r_{1} + j}$による共役を表す
• $r_{1} + j$番目の埋込の複素共役に対応する虚埋込は$r_{1} + r_{2} + j$番目の埋込となっている

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1. $r \coloneqq r_{1} + r_{2} - 1$
2. $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots, \varepsilon_{r}$：$\ell^{\sharp}(\mathcal{O}_{k}^{\times})$を生成する$\mathcal{O}_{k}^{\times}$の元，すなわち$$\ell^{\sharp}(\mathcal{O}_{k}^{\times}) = \mathbb{Z} \ell^{\sharp}(\varepsilon_{1}) + \cdots + \mathbb{Z} \ell^{\sharp}(\varepsilon_{r})$$を満たす元

コメント 2: 虚埋込の数

写像$x \longmapsto \Re y + \Im y \, \sqrt{-1}$が虚埋込ならば，$x \longmapsto \Re y - \Im y \, \sqrt{-1}$も虚埋込になります．したがって，虚埋込の数は必ず偶数になります．

コメント 3: 単数群

単数群は，単元群と同じ意味です．なお，整数論では環の可逆元を「単元」と呼ぶ代わりに「単数」と呼ぶほうが一般的です．

補題

本題に入る前に$\ell^{\sharp}(\mathcal{O}_{k}^{\times})$の構造に関する補題を見ておきましょう．

証明
$\alpha \in \mathcal{O}_{k}^{\times}$とすると，

$$\operatorname{N}_{k/\mathbb{Q}}(\alpha) = \prod_{i=1}^{r_{1}+2r_{2}} \sigma_{i}(\alpha) = \pm 1.$$

なお，$\sigma_{i}$は$k$から$\overline{\mathbb{Q}}$への$\mathbb{Q}$準同型とする．上の等式に注意すると，

$$\begin{aligned} \ell^{\sharp}(\alpha) \cdot \bm{1} &=\sum_{i=1}^{r_{1}}\log\lvert \alpha^{(i)} \rvert + \sum_{j=1}^{r_{2}} \log\lvert \alpha^{(r_{1} + j)} \rvert^{2} \\ &= \log \left \lvert \prod_{i=1}^{r_{1}} \sigma_{i} (\alpha) \right\rvert + \log \left\lvert \prod_{j=1}^{r_{2}} \sigma_{r_{1} + j} (\alpha) \right\rvert^{2} \\ &= \log \left \lvert \prod_{i=1}^{r_{1}} \sigma_{i} (\alpha) \right\rvert + \log \left\lvert \prod_{j=1}^{2r_{2}} \sigma_{r_{1} + j} (\alpha) \right\rvert \\ &= \log \left \lvert \prod_{i=1}^{r_{1}+2r_{2}} \sigma_{i} (\alpha) \right\rvert\\ &= \log 1 \\ &= 0 \end{aligned}$$

となる．■

本題となる命題

前置きが長くなってしまいましたが，ここでようやく本題に入ります．今回の本題は次の命題です．

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この命題を証明するにあたって「$\mathcal{R}$の一部である小行列式を考えるために，$\mathcal{R}$を拡張した行列$\widetilde{\mathcal{R}}$を考える」という手法をとります．元の行列の一部分を考えるために一度それを広げた行列を作って性質を見に行く点が不思議に思えるかもしれません．

今回，与えられた$\mathcal{R}$は$(r+1) \times r$行列と長方形の行列であるためそのままだとうまく行列式を扱うことができません．これを解消するために，①行を1つ削るか，②列を1つ補うかを選択することになるでしょう．この時点で「前者の行列式を考えたくてもうまくいかないなら，後者の行列式を考える」というのは至極自然な流れと言えるでしょう．全く「不思議」ではないのです．

では，どのように拡張すればよいでしょうか．

そもそも$\varepsilon_{1}, \ldots, \varepsilon_{r}$は$\ell^{\sharp}(\mathcal{O}_{k}^{\times})$を生成する元としてとりました．一方で$\ell^{\sharp}$の終域はもともと$\mathbb{R}^{r+1}$でしたから，$\bm{v} \in \mathbb{R}^{r+1} \setminus \ell^{\sharp}(\mathcal{O}_{k}^{\times})$がとれて$\bm{v}, \ell^{\sharp}(\varepsilon_{1}), \ldots, \ell^{\sharp}(\varepsilon_{r})$を$\mathbb{Z}$上で1次独立となるようにできるはずです．このとき，先ほどの補題をもとにすると，この$\bm{v}$には$\bm{v} = \bm{1}$をとれるはずです．

この方針で証明を進めてみましょう．

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証明
行列$\mathcal{R}$を拡張して，$r+1$次正方行列$\widetilde{\mathcal{R}} \coloneqq \begin{pmatrix} \bm{1} & \ell^{\sharp}(\varepsilon_{1}) & \ell^{\sharp}(\varepsilon_{2}) & \cdots & \ell^{\sharp}(\varepsilon_{r}) \end{pmatrix}$を考えると，

$$\textsf{\small $\left[ \begin{array}{l} \mathcal{R}から第i行を除いて \\ 得るr次小行列\mathcal{R}_{-i} \end{array}\right]$} = \textsf{\small $\left[\begin{array}{l} \widetilde{\mathcal{R}}の第i行と第1行を\\除いた小行列 \end{array} \right]$}$$

とみなせる．したがって，

$$\begin{aligned} \det \widetilde{\mathcal{R}} &= \det \begin{pmatrix} 1 &\ell^{\sharp}_{1}(\varepsilon_{1}) & \cdots & \ell^{\sharp}_{1}(\varepsilon_{r}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \ell^{\sharp}_{i-1}(\varepsilon_{1}) & \cdots & \ell^{\sharp}_{i-1}(\varepsilon_{r}) \\ 1 &\ell^{\sharp}_{i}(\varepsilon_{1}) & \cdots & \ell^{\sharp}_{i}(\varepsilon_{r}) \\ 1 & \ell^{\sharp}_{i+1}(\varepsilon_{1}) & \cdots & \ell^{\sharp}_{i+1}(\varepsilon_{r}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \ell^{\sharp}_{r_{1} + r_{2}}(\varepsilon_{1}) & \cdots & \ell^{\sharp}_{r_{1} + r_{2}}(\varepsilon_{r}) \\ \end{pmatrix} \\ &\underset{①}{=} \det \begin{pmatrix} 1 &\ell^{\sharp}_{1}(\varepsilon_{1}) & \cdots & \ell^{\sharp}_{1}(\varepsilon_{r}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \ell^{\sharp}_{i-1}(\varepsilon_{1}) & \cdots & \ell^{\sharp}_{i-1}(\varepsilon_{r}) \\ \displaystyle \sum_{j=1}^{r_{1} + r_{2}} 1 & \displaystyle \sum_{j=1}^{r_{1} + r_{2}} \ell^{\sharp}_{j}(\varepsilon_{1}) & \cdots & \displaystyle \sum_{j=1}^{r_{1} + r_{2}} \ell^{\sharp}_{j}(\varepsilon_{r}) \\ 1 & \ell^{\sharp}_{i+1}(\varepsilon_{1}) & \cdots & \ell^{\sharp}_{i+1}(\varepsilon_{r}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \ell^{\sharp}_{r_{1} + r_{2}}(\varepsilon_{1}) & \cdots & \ell^{\sharp}_{r_{1} + r_{2}}(\varepsilon_{r}) \\ \end{pmatrix} \\ &= \det \begin{pmatrix} 1 &\ell^{\sharp}_{1}(\varepsilon_{1}) & \cdots & \ell^{\sharp}_{1}(\varepsilon_{r}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \ell^{\sharp}_{i-1}(\varepsilon_{1}) & \cdots & \ell^{\sharp}_{i-1}(\varepsilon_{r}) \\ \vphantom{\displaystyle \sum_{1}^{1}}r_{1} + r_{2} & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & \ell^{\sharp}_{i+1}(\varepsilon_{1}) & \cdots & \ell^{\sharp}_{i+1}(\varepsilon_{r}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \ell^{\sharp}_{r_{1} + r_{2}}(\varepsilon_{1}) & \cdots & \ell^{\sharp}_{r_{1} + r_{2}}(\varepsilon_{r}) \\ \end{pmatrix}\\ &\underset{②}{=} (-1)^{i+1} (r_{1} + r_{2}) \det \mathcal{R}_{-i}. \end{aligned}$$

ここで，①の変形には行列の$i$行目以外をすべて$i$行目に足しこむ基本変形を考え，②の変形では第$i$行に関するLaplace展開を適用した．

以上より，$i_{1}, i_{2} \in [r+1]$に対して，

$$\lvert \det \mathcal{R}_{-i_{1}}\rvert = \lvert \det \mathcal{R}_{-i_{2}}\rvert = \dfrac{\lvert \det \widetilde{\mathcal{R}} \rvert}{r_{1} + r_{2}}.$$

これは$\mathcal{R}$の任意の$r$次小行列式の絶対値がすべて等しいことを意味する．■

まとめ

実は，上の証明で考えた行列$\widetilde{\mathcal{R}} = \begin{pmatrix} \bm{1} & \ell^{\sharp}(\varepsilon_{1}) & \ell^{\sharp}(\varepsilon_{2}) & \cdots & \ell^{\sharp}(\varepsilon_{r}) \end{pmatrix}$の行列式の絶対値は，$r+1$個のベクトル$\bm{1}, \ell^{\sharp}(\varepsilon_{1}), \ell^{\sharp}(\varepsilon_{2}), \ldots , \ell^{\sharp}(\varepsilon_{r})$が作る立体の体積にあたります．
さらに，ここで$\ell^{\sharp}(\mathcal{O}_{k}^{\times})$に対して別の基底による表示，例えば$\ell^{\sharp}(\mathcal{O}_{k}^{\times}) = \mathbb{Z}\ell^{\sharp}(\varepsilon_{1}^{\prime}) + \cdots + \mathbb{Z}\ell^{\sharp}(\varepsilon_{r}^{\prime})$を考えても，同様に考えられる行列式の絶対値は変わりません．
これは「生成している立体が同じものだからベクトルがつくる体積も一致する」と考えるとなんとなく理解できることでしょう．
以上のことから，実は上の証明で考えていた行列式の絶対値

$$\lvert \det \widetilde{\mathcal{R}} \rvert= \left\lvert \begin{pmatrix} \bm{1} & \ell^{\sharp}(\varepsilon_{1}) & \ell^{\sharp}(\varepsilon_{2}) & \cdots & \ell^{\sharp}(\varepsilon_{r}) \end{pmatrix} \right\rvert$$

は$\ell^{\sharp}(\mathcal{O}_{k}^{\times})$の基底の取り方によらないことが分かります．
ですから，$r+1$個ある$\mathcal{R}$の$r$次小行列式の絶対値の値はすべて同じであり，しかも$k$のみから定まると分かります．
なんだかこの小行列式の絶対値という値，重要なように思えてきませんか．

実際，この$r+1$個ある$\mathcal{R}$の$r$次小行列式の絶対値の値は$k$の単数規準と呼ばれ，
代数体の類数を計算する公式にも登場する，非常に重要な値になっています．
類数公式については，例えばMathlogにあがっていた「類数公式の証明」という記事などに説明があります．

最後に，単数規準の定義を陽に書き下しておきましょう．どんな基底の取り方でも，どの$r$次小行列式でも同じ値になるという前提を踏まえて，基底は適当に，小行列式には首座小行列をとると，その定義は以下のようになります．

参考文献

[1] 『数論序説』，小野孝 著，裳華房．
[2] 「類数公式の証明」 on Mathlog，子葉（閲覧日：2022年12月27日，閲覧ver. 最終更新日が2021年1月10日付のもの）