前提知識

その４の続きです.

微分方程式への応用

微分方程式$a_nx^{(n)}(t)+...+a_0x(t)=f(t)$に対して,これを演算子の世界で考えて解く.つまり,上の微分方程式は

$$\left<a_nx^{(n)}+...+a_0x\right>=[a_n]\left<x^{(n)}(t)\right>+...+[a_0]\left<x(t)\right>=f$$

と考えることができる.

ここで,３節の微分演算子の性質より,

$$ \begin{aligned} a_0x+\sum_{i=1}^na_i\left(D^ix-\sum_{j=0}^{i-1}D^jx^{(i-j-1)}\right)&=f\\ \left(\sum_{i=0}^na_iD^i\right)x&=f+\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^ia_{i+1}D^jx^{(i-j)}(0)\\ \left(\sum_{i=0}^na_iD^i\right)x&=f+\sum_{j=0}^{n-1}\left(\sum_{i=j}^{n-1}a_{i+1}x^{(i-j)}(0)\right)D^j\\ x&=\frac{f+\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1}\left(\sum_{i=j}^{n-1}a_{i+1}x^{(i-j)}(0)\right)D^j}{\displaystyle\sum_{i=0}^na_iD^i} \end{aligned}$$

となる.これを部分分数分解などをすることで,３節の微分演算子の性質を利用してこの微分方程式を解くことができる.

例１ 二階微分方程式

$$x''+x=2,\,x(0)=1,\,x'(0)=0$$

を解く.$\mathbb{O}$で考えると,

$$ \begin{aligned} D^2x-x'(0)-Dx(0)+x&=\left<2\right>=2D^{-1}\\ D^2x-D+x&=2D^{-1}\\ x&=\frac{D^2+2}{D(D+i)(D-i)}\\ &=\frac2{D}-\frac1{2(D+i)}-\frac1{2(D-i)}\\ &=\left<2-\frac12e^{-it}-\frac12e^{it}\right>\\ &=\left<2-\cos t\right> \end{aligned}$$

よって解は

$$x(t)=2-\cos t$$

\end{eg}

例２ 二階微分方程式

$$x''(t)-4x(t)=\sin \frac32t\sin \frac12t=:f(t),\,x(0)=1,\,x'(0)=0$$

を解く.$x,f$を$\mathbb{O}$の元とみなすと,

$$ \begin{aligned} x''-4x&=f\\ D^2x-x'(0)-Dx(0)-4x&=f\\ D^2x-D-4x&=f\\ (D^2-4)x&=D+f\\ x&=\frac{D+f}{(D-2)(D+2)} \end{aligned}$$

ここで,

$$\begin{aligned} f&=\left<\frac{e^{\frac32it}-e^{\frac{-3}2it}}{2i}\times\frac{e^{\frac12it}-e^{\frac{-1}2it}}{2i}\right>\\ &=\frac14\left<e^{it}\right>+\frac14\left<e^{-it}\right>-\frac14\left<e^{2it}\right>-\frac14\left<e^{-2it}\right>\\ &=\frac14\left(\frac1{D-i}+\frac1{D+i}\right)-\frac14\left(\frac1{D-2i}+\frac1{D+2i}\right)\\ &=\frac{3D}{2(D-i)(D+i)(D-2i)(D+2i)} \end{aligned}$$

よって

$$\begin{aligned} x&=\frac{f+D}{(D-2)(D+2)}\\ &=\frac{D(2D^4+10D^2+11)}{2(D-2)(D+2)(D-i)(D+i)(D-2i)(D+2i)}\\ &=\frac{83}{160}\left(\frac1{D-2}+\frac1{D+2}\right)+\frac1{32}\left(\frac1{D-2i}+\frac1{D+2i}\right)-\frac1{20}\left(\frac1{D-i}+\frac1{D+i}\right)\\ &=\left<\frac{83}{80}\cosh 2t+\frac1{16}\cos 2t-\frac1{10}\cos t\right> \end{aligned}$$

よって微分方程式の解は

$$x(t)=\frac{83}{80}\cosh 2t+\frac1{16}\cos 2t-\frac1{10}\cos t$$

例３連立微分方程式

$$\begin{aligned} x'-ax-by&=be^{at},\\ y'+bx-ay&=0\\ (x(0)=0,\,y(0)&=1) \end{aligned}$$

を解く.$\mathbb{O}$で考えると,

$$\begin{aligned} x'-ax-by&=\left<be^{at}\right>=\frac{b}{D-a},\\ y'+bx-ay&=0 \end{aligned}$$

よって

$$\begin{aligned} (D-a)x-by&=\frac{b}{D-a},\\ bx+(D-a)y&=1 \end{aligned}$$

この連立方程式を解くと,

$$x=\frac{2b}{(D-a)^2+b^2},\,y=\frac{(D-a)^2-b^2}{(D-a)\left((D-a)^2+b^2\right)}$$

ゆえに,

$$\begin{aligned} x&=\frac{-i}{D-(a+bi)}+\frac{i}{D-(a-bi)}\\ &=\left<ie^{(a-bi)t}-ie^{(a+bi)t}\right>\\ &=\left<2e^{at}\sin bt\right>\\ \\ y&=\frac1{D-(a+bi)}+\frac1{D-(a-bi)}-\frac1{D-a}\\ &=\left<e^{at}(2\cos bt-1)\right> \end{aligned}$$

よって解は

$$x(t)=2e^{at}\sin bt,\,y(t)=e^{at}(2\cos bt-1)$$

である.