前提知識

例題　次の方程式の整数解をすべて求めよ。

31x+22y＝3　　　　(『新編　数学A』数研出版　より)

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解答

31x+22y＝3 …①

ポイント1：31x+22y=1 の x，y に当てはまる数の組を見つける。【注】

x=5， y=－7 は， 31x+22y＝1 の整数解の1つであるから

31・5+22・(－7)＝1

両辺に3を掛けると

31・15+22・(－21)＝3 …②

①－②から 31(xー15)+22(y+21)＝0 …③

31と22は互いに素であるから，③より，

x－15=22k ，y +21=－31k 　　( k は整数)

したがって，①のすべての整数解は

x=22k +12， y=－31k －21　　( k は整数)

【注】

31=22・1+9　→ 9＝31－22・1

22=9・2＋4　→　4＝22－9・2

9＝4・2+1　→　1＝9－4・2＝9－(22－9・2)・2＝9・5+22・(－2)＝(31－22・1)・5+22・(－2)＝31・5+22・(－7)

練習　次の方程式の整数解をすべて求めよ。

43x+32y＝4　　　　(『新編　数学A』数研出版　より)

解答

43x+32y＝4 …①

x=3， y=－4 は， 43x+32y＝1 の整数解の1つであるから　【注】

43・3+32・(－4)＝1

両辺に4を掛けると

43・12+32・(－16)＝4     …②

①－②から 43(xー12)+32(y+16)＝0 …③

43と32は互いに素であるから，③より，

x－12=32k ，y +16=－43k 　　( k は整数)

したがって，①のすべての整数解は

x=32k +12， y=－43k －16　　( k は整数)

【注】

43=32・1+11　→ 11＝43－32・1

32=11・2＋10　→　10＝32－11・2

11＝10・1+1　→　1＝11－10・1＝11－(32－11・2)・1＝11・3+32・(－1)＝(43－32・1)・3+32・(－1)＝43・3+32・(－4)