神永正博『「超」入門 微分積分』のネイピア数と指数関数の導出について、復習がてらソラで書いた。

ネイピア数について

$f(x) = x^{\beta}$の不定積分を$[1,x]$について取ると、
$\int^{x}_{1}x^{\beta}dx=\frac{1}{\beta +1}x^{\beta + 1} - \frac{1}{\beta + 1}1^{\beta + 1} 　(\beta \neq -1)$

ここで$\beta = -1$とすると、
$\int^{x}_{1}x^{-1}dx=\frac{1}{-1 +1}(x^{\beta + 1} - 1)$となり、計算ができない。
つまり、$x^{-1}$の積分が計算できない。ので、とりあえず結果を$y$と置く。

$y=1$のとき、$\frac{1}{\beta +1}(x^{\beta + 1} - 1) = 1$
$\frac{1}{\beta +1}(x^{\beta + 1} - 1) = 1$

$x^{\beta + 1} - 1 = \beta +1$
$x^{\beta + 1} = (\beta +1) - 1$
$x = \{(\beta +1) - 1\}^ \frac{1}{\beta + 1}$
$t = \beta + 1$と置くと、$x = (t - 1)^{t}$
$\beta \to -1$なら、$\beta + 1 = t$より$t \to 0$なので、
$x = \lim_{t \to 0} (t + 1)^{\frac{1}{t}}$
これを計算すると
https://wandbox.org/permlink/PrixqDBTceBKbUVz
より、$x \risingdotseq 2.718281... = e^1$

より一般に、
$\int^{x}_{1}x^{-1}dx=\frac{1}{\beta +1}(x^{\beta + 1} - 1) = y$
$x^{\beta + 1} = (\beta +1)y + 1$
ここで、$t = (\beta + 1)y$と置くと、$\beta +1 = \frac{t}{y}$
$x^{\frac{t}{y}} = t + 1 \Leftrightarrow x = (t + 1)^{\frac{y}{t}} \Leftrightarrow x = \{(t + 1)^\frac{1}{t}\}^{y} \Leftrightarrow x = e^y$