2020/11/28 23:11 更新

常用対数はいつどこで常用されているのか

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高校を卒業した人は、誰しもが一度は常用対数という言葉を聞いたことがあると思います。
しかし、これが本当に常用なのか、いつ常用してるのかというところまで、話を聞けた方はごく少数なのではないでしょうか。
というわけで、今日は、常用対数の常用具合を3つの例にそって、紹介しようと思います。

星☆

一等星、二等星という言葉を聞いたことがあると思います。星の明るさを示す指標です。実はこれには1.5等星というものもあり、まとめて、常用対数で定義されています。

$m$等星の定義

基準光度$l_0$に対して、光度$l_1$の星の等級$m$は次式で定義される。

$$m=-2.5\log_{10}\frac{l_1}{l_0}$$

したがって、光度が100倍になると、等級は5下がることになります。

$\because )$

$$m'=-2.5\log_{10}\frac{100l_1}{l_0}=-2.5\left(\log_{10}\frac{l_1}{l_0}+\log_{10}10^2\right) =-2.5\left(\log_{10}\frac{l_1}{l_0}+2\right)=m-5$$

地震

自信ではありません、地震です。テレビやネットでマグニチュードという言葉を聞いたことがある方は多いのではないでしょうか。
実はこのマグニチュードというのは、常用対数を使用して定義されています。

マグニチュードの定義

地震が発生するエネルギーを$E$に対して、マグニチュード$M$は次式で定義される。

$$M=\frac{1}{1.5}\left( \log_{10}E-4.8\right)$$

したがって、エネルギーが$10^{1.5}\approx 31.6$倍になると、マグニチュードが$1$大きくなります。エネルギーが$10^{3}= 1000$倍になると、マグニチュードが$2$大きくなります。

デシベル(dB)という単位を聞いたことがありますか？
もし無かったら、適当な家電の説明書を見てください。音の大きさを表すのにデシベルという単位がよく用いられます。実はこれは、常用対数を使って定義されています。

音圧レベル(dB)の定義

基準音圧$p_0=20\,\mathrm{[\mu Pa]}$に対して、音圧$p$の音圧レベル$L_p$は次式で定義されます。

$$L_p=20\log_{10}\frac{p}{p_0}$$

したがって、音圧が$10^{0.1}\approx1.23$倍になると、音圧レベルが2倍になります。