前提知識

ベクトル、微分、アインシュタインの縮約記法(補題の証明)
ニュートンの法則から出発して、証明する。

補題

$$\gdef\dd{\mathrm{d}} \gdef\d#1{\frac{\dd}{\dd #1}} \gdef\dv#1#2{\frac{\dd #2}{\dd #1}} \d{t}\left(\bm{a}\times \bm{b} \right)=\dv{t} {\bm{a}}\times\bm{b}+\bm{a}\times\dv{t}{\bm{b}}$$

$\because\,)$ $\bm{a}\times \bm{b}=\epsilon_{ijk}a_ib_j\bm{e_k}$より、

$$\begin{aligned} \d{t}\left(\bm{a}\times \bm{b} \right)&=\epsilon_{ijk}\dv{t}{a_i}b_j\bm{e_k}+\epsilon_{ijk}a_i\dv{t}{b_j}\bm{e_k} \\ &=\dv{t}{\bm{a}}\times\bm{b}+\bm{a}\times\dv{t}{\bm{b}} \end{aligned}$$

角運動量保存則

ニュートンの法則は、

$$\gdef\ndv#1#2#3{\frac{\dd^{#3} #2}{\dd #1^{#3}}} F=m\ndv{t}{\bm{r}}{2}$$

である。また、角運動量の定義は、

$$\bm{L}=\bm{r}\times\bm{p}=m\bm{r}\times\dv{t}{\bm{r}}$$

である。したがって、

$$\begin{aligned} \dv{t}{\bm{L}}&=m\left(\dv{t}{\bm{r}}\times\dv{t}{\bm{r}}+\bm{r}\times\ndv{t}{\bm{r}}{2}\right) \\ &=\bm{r}\times F \end{aligned}$$

である。$\bm{r}\times F$をモーメントと呼び、$\bm{\tau}$とかく。
$\bm{F}=0$ならば、$\bm{\tau}=0$であり、角運動量が保存する事が分かる。

あとがき

保存量と系の対称性は対応していたりして、かなり深い。