前提知識

演算子法（その１）の続きです.

クラス$C$関数

定義連続関数$f\colon[0,\infty)\rightarrow{\mathbb C}$ の集合$C([0, \infty),\mathbb{C})$を単に$C$と表記し,その元をクラス$C$の関数と呼ぶ.また,$C$の元としての$f$は,$f$または$\left<f(t)\right>$と表記することとする.（なお,混乱のない場合は$\left<,\right>$を省略する）

命題 $C$に次の演算を導入する：

（和）

$$f+g:=\left<f(t)+g(t)\right>$$

（積）

$$fg:=\left<\int_0^tf(\tau)g(t-\tau)\mathrm{d}\tau\right>$$

このとき,以下の性質が成り立つ：

$\forall{f,g,h}\in{C}[(f+g)+h=f+(g+h)]$
$\exists{O}\in{C}\forall{f}\in{C}[O+f=f]$（この$O$を$0$と表記する）
$\forall{f}\in{C}\exists{g}\in{C}[f+g=O]$（この$g$を$-f$と表記する）
$\forall{f,g}\in{C}[f+g=g+f]$
$\forall{f,g,h}\in{C}[(fg)h=f(gh)]$
$\forall{f,g,h}\in{C}[(f+g)h=fh+gh]$
$\forall{f,g}\in{C}[fg=gf]$
単位元は存在しない.つまり,$\forall{f}\in{C}\exists{g}\in{C}[fg\neq{f}]$

つまり,$C$は非単位的な可換環である.

proof.
5,7,8のみ確認する.

5について：
Fubiniの定理を利用して

$$ \begin{aligned} (fg)h&=\left<\int_0^tf(v)g(t-v)\mathrm{d}v\right>\left<h(t)\right>\\ &=\left<\int_0^t\left(\int_0^uf(v)g(u-v)\mathrm{d}v\right)h(t-u)\mathrm{d}u\right>\\ &=\left<\int_{0\leq{v}\leq{u}\leq{t}}f(v)g(u-v)h(t-u)\mathrm{d}v\mathrm{d}u\right>\\ &=\left<\int_0^tf(v)\mathrm{d}v\int_v^tg(u-v)h(t-u)\mathrm{d}u\right>\\ &=\left<\int_0^tf(v)\mathrm{d}v\int_0^{t-v}g(u)h(t-v-u)\mathrm{d}u\right>\\ &=\left<f(t)\right>\left<\int_0^tg(u)h(t-u)\mathrm{d}u\right>\\ &=f(gh) \end{aligned}$$

7について：

$$ \begin{aligned} fg&=\left<\int_0^tf(\tau)g(t-\tau)\mathrm{d}\tau\right>\\ &=\left<\int_0^tf(t-\tau)g(\tau)\mathrm{d}\tau\right>\\ &=gh \end{aligned}$$

8について：

もし単位元$e$が存在すると仮定すれば、定数関数$\left<1\right>$に対して,

$$\left<1\right>=e\left<1\right>=\left<\int_0^te(\tau)\mathrm{d}\tau\right>$$

であるが,これの等式は$t=0$で成立しない.

（その3に続く）