@Kokkoro_Mazic
前提知識
演算子法（その２）の続きです.多少の解析の知識及び,Weierstrassの多項式近似定理とLiouvilleの定理は仮定します.
Titchmarshの定理への準備
Titchmarshの定理とは,その２で定義した$C$が整域であることを保証する重要な定理です.これを証明する前にいくつか命題を準備します.
命題1 $T>0$とし,任意の$f\in{C([0,T],\mathbb{C})}$に対して,
ならば,区間$[0,T]$において$f(t)=0$である.
proof. Wierstrassの多項式近似定理より,任意の$\varepsilon>0$に対して複素係数多項式$P_\varepsilon(t)$が存在して,$|f(t)-P_\varepsilon(t)|<\varepsilon$となる.
このとき,$|f(t)-P_\varepsilon(t)|^2=|f(t)|^2+|P_\varepsilon(t)|^2-f(t)\overline{P_\varepsilon(t)}-\overline{f(t)}P_\varepsilon(t)$で,仮定から
ゆえ,
$$\int_0^T|f(t)|^2\mathrm{d}t \leq{\int_0^T|f(t)-P_\varepsilon(t)|^2\mathrm{d}t} =\int_0^T|f(t)|^2\mathrm{d}t+\int_0^T|P_\varepsilon(t)|^2\mathrm{d}t \leq{\varepsilon^2T}$$これは任意の$\varepsilon>0$について成り立つので,
$$\int_0^T|f(t)|^2\mathrm{d}t=0$$これにより$[0,T]$で$f(t)=0$であることがわかる.
□
※この命題は$n$の条件を$n\geq1$などに限っても成り立つ。それは命題１の仮定にある$f(t)$として$tf(t)$などを採用すればよい。
命題2
任意の$T>0$に対して,$f\in{C([0,2T],\mathbb{C})}$が任意の$0\leq{t}\leq{2T}$で
proof.
$z\in\mathbb{C}$として,
である.$t=2T-u-v, \tau=T-v$の変数変換をすると,
$$\iint_Be^{z(u+v)}f(T-u)f(T-v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v=0$$ただし,$B:=\{(u,v)\in{\mathbb{R}^2};u,v\leq{T},\,u+v\geq{0}\}$
ここで,$C:=\{(u,v)\in{\mathbb{R}^2};u,v\geq{-T},\,u+v\leq{0}\},D:=[-T,T]\times[-T,T]$とすると,
$Re(z)\geq{0}$のとき,$M:=\displaystyle\max_{[0,2T]}|f(t)|$とすると,$|e^{z(u+v)}|\leq1$だから,
$$\left|\int_{-T}^Te^{zu}f(T-u)\mathrm{d}u\right|^2 =\left|\int_{-T}^Te^{zu}f(T-u)\mathrm{d}u\int_{-T}^Te^{zv}f(T-v)\mathrm{d}v\right| \leq{\iint_CM^2\mathrm{d}u\mathrm{d}v=2T^2M^2}\\ \left|\int_{-T}^Te^{zu}f(T-u)\mathrm{d}u\right|\leq{\sqrt2TM}$$$$\therefore\left|\int_0^Te^{zu}f(T-u)\mathrm{d}u\right| \leq{\left|\int_{-T}^Te^{zu}f(T-u)\mathrm{d}u\right|+\left|\int_{-T}^0e^{zu}f(T-u)\mathrm{d}u\right|}\\ \leq{\sqrt2TM+\int_{-T}^0M\mathrm{d}u}=(\sqrt2+1)TM$$$Re(z)\leq0$のとき,$|e^{zu}|\leq1$だから,
$$\left|\int_0^Te^{zu}f(T-u)\mathrm{d}u\right| \leq{\int_0^TM\mathrm{d}u=TM}\leq{(\sqrt2+1)TM}$$ここで,
$$F(z):=\int_0^Te^{zu}f(T-u)\mathrm{d}u$$は整関数で,上の議論から有界であるから,Liouvilleの定理より,$F(z)$は定数関数である.よって
$$F^{(n)}(0)=\int_0^Tu^nf(T-u)\mathrm{d}u=0$$が任意の$n\in{\mathbb{Z}_{>0}}$について成り立つので,命題１と、その後の注意により,$[0,T]$において$f(t)=0$である.
□
系$f\in{C}$に対して,$f^2=0$ならば$f=0$である.
proof. 略
Titchmarshの定理
定理（Titchmarshの定理）任意の$f,g\in{C}$に対して,$fg=0\Rightarrow f=0$または$g=0$.
つまり,$C$は（非単位的な）整域である.
proof.
$fg=0$だから,
で,これは$f_1(t):=tf(t),\,g_1(t):=tg(t)$とすれば$fg_1+f_1g=0$を意味する.両辺に$f_1g$をかけると
$$f_1gfg_1+(f_1g)^2=(f_1g)^2=0$$となるので,先の命題2の系から,$f_1g=0$,つまり
$$\int_0^t\tau f(\tau)g(t-\tau)\mathrm{d}\tau=0$$これを繰り返すと
$$\int_0^t\tau^nf(\tau)g(t-\tau)\mathrm{d}\tau=0$$を得るので,命題１から$0\leq{\tau}\leq{t}$において$f(\tau)g(t-\tau)=0$となる.$g\neq0$ならば,$[0,t]$において,ひいては$[0,\infty)$において$f(\tau)=0$であり,$f\neq0$ならば,$[0,\infty)$において$g(\tau)=0$である.
□
（その４に続く）
