2020/10/18 23:34 更新
Sedenion(十六元数)
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目次

前提知識

マイナスに マイナスを掛けると プラスになる。

要約

2週間ぐらい遊んでみたが、何に使えるのか分からなかった。ファノ平面を見て便利だと思うことがあれば 何かに使えそうだが……。

恐らく この記事で 次の5行が一番 難しく感じると思う。この難しそうな名前で挫折しなければ 6行目で会いましょう。

  • Real number(実数)
  • Complex number(複素数)
  • Quaternion(四元数)
  • Octonion(八元数)
  • Sedenion(十六元数)

はい こんにちわ。
以降、プラスかマイナスかしか気にしないので 出てくる数は 恐らく ほとんど 1 を使う。

第1回 軽く流し見

Real number(実数)

まず この形を覚えてください。

$$a\times b=c$$

次に、以下の4つを流し見してください。

$$1\times 1=1$$$$-1\times 1=-1$$$$1\times -1=-1$$$$-1\times -1=1$$

ここで つかんでおくことは、以下の2つです。

  • b が 1 なら、そのままだ(a=c)
  • b が -1 なら、後ろ向く(-a=c)

a と b は交換しても同じことです。

Complex number(複素数)

また この形を覚えてください。

$$a\times b=c$$

次に、以下の4つを流し見してください。

$$1\times i=i$$$$i\times i=-1$$$$-1\times i=-i$$$$-i\times i=1$$

ここで つかんでおくことは、以下の2つです。

  • なんか $i, -1, -i, 1$ の順で回ってる
  • b が i なら、90°回転する

TODO ここに画像を貼る

Quaternion(四元数)

また この形を覚えてください。

$$a\times b=c$$

次に、以下の3つを流し見してください。

$$i\times j=k$$$$j\times k=i$$$$k\times i=j$$

TcZxFQU.png

↑ 左手の親指を i、 人差し指を j に当てると、折った中指は k を差します。
同様に、
左手の親指を j、 人差し指を k に当てると、折った中指は i を差します。
左手の親指を k、 人差し指を i に当てると、折った中指は j を差します。

クォータニオンでの 虚数 i, j, k のひっくり返り方は これで説明が終わります。
クォータニオンにも 実数の軸 があるのですが、 j と k も i と変わらないので Complex number(複素数) と同じです。

下の表は、 行(左見出し)×列(上見出し) の答えを表すとしましょう。

1 i j k
1 1 i j k
i i -1 k -j
j j -k -1 i
k k j -i -1

↑ 指を当てて確かめてください。
わたしは パソコンでお絵描きをするときマウスを右手で持っていることが多く 左手が開いているので 左手系 にしましたが、 右手系 でも理屈は変わりません。

Octonion(八元数)

また この形を覚えてください。

$$a\times b=c$$

次に、以下の3つを流し見してください。

$$i\times j=k$$$$j\times k=i$$$$k\times i=j$$

この部分は、クォータニオンと同じです。

TODO ここに画像を貼る

これを説明するには画像を用意したいので 今は詳細を省きます。

Sedenion(十六元数)

また この形を覚えてください。

$$a\times b=c$$

次に、以下の3つを流し見してください。

$$i\times j=k$$$$j\times k=i$$$$k\times i=j$$

この部分は、クォータニオン、オクタニオンと同じです。

第2回 少しよく見る

Real number(実数)

出てきたのは、負数を除けば

$1$

の1つでした。(1軸)

Complex number(複素数)

出てきたのは、負数を除けば

$1, i$

の2つでした。(2軸)

TODO ここに画像を貼る

↑ 実数と比べると Im軸($i$)が増えました。
Im軸 は Y軸と何が違うの?と思うかもしれません。 Im軸は あくまで、X軸と思ってください。
何なら、 Y軸にも Re軸 と Im軸 があります。

言ってしまえば 実数を見ているとき X軸、Y軸 でしたが、複素数 を見ているときは、 X平面、Y平面 になっています。

Quaternion(四元数)

出てきたのは、負数を除けば

$1, i, j, ij$

の4つでした。(4軸)

また、 $ij$ に $k$ を割り当てることで、

$1, i, j, k$

とすると見やすいです。

TODO ここに画像を貼る

↑ 複素数と比べると j軸($j$)、 k軸($k$)が増えました。
複素数で i を覚えたばかりなのに、 j とか k とか何だ、 と思われるかもしれません。
j は、 i と同じものをコピーして増やしたものと思ってください。言ってしまえば i ~ コピー(1) が j です。
j だけ増えたのなら まだ分かるかもしれませんが、なぜ k まで増えたのか。 1個ずつ増えてくれたって良いじゃないか、と思うかもしれません。
$k$ は、 言ってしまえば $i×j$ です。 $j×(i×j)=i$ 、また $j×ij=i$ なのですが、 見づらいので $i×j$ を $k$ に置いているだけです。

ここで注意。

$j×(i×j)=k$
$(j×i)×j=-k$

掛け算の順序によって結果が変わります。つまり 非可換 です。 身近なものでは ルービック・キューブ が非可換です。 将棋 の指し手は可換(どっちが先でも同じ)と 非可換(手順前後がある)の両方のケースがあります。

Octonion(八元数)

出てきたのは、負数を除けば

$1, i, j, ij, h, ih, jh, ijh$

の8つでした。(8軸)

アルファベットが多すぎて読みにくい場合、

$e0, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7$

とすると見やすいです。

TODO ここに画像を貼る

↑ クォータニオンと比べると I軸($I$)、J軸($J$)、 K軸($K$)、 L軸($L$) が増えました。
クォータニオンで j軸、k軸 を覚えたばかりなのに、 なんで4軸も増えるんだ、と思われるかもしれません。
実数は1軸、複素数は2軸、クォータニオンは4軸、オクタニオンは8軸です。

Sedenion(十六元数)

出てきたのは、負数を除けば

$1, i, j, ij, h, ih, jh, ijh, l, il, jl, ijl, hl, ihl, jhl, ihjl$

の16個でした。(16軸)

アルファベットが多すぎて読みにくい場合、

$e0, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10, e11, e12, e13, e14, e15$

とすると見やすいです。

TODO ここに画像を貼る

これを説明するには画像を用意したいので 今は詳細を省きます。

↑ クォータニオンと比べると hl軸($hl$)、hi軸($hi$)、 hj軸($hj$)、 hk軸($hk$)、 hL軸($hL$)、hI軸($hI$)、 hJ軸($hJ$)、 hK軸($hK$) が増えました。
クォータニオンで I軸、K軸、J軸、L軸 を覚えたばかりなのに、 なんで8軸も増えるんだ、と思われるかもしれません。
十六元数は 16軸です。

(書きかけ)