@norkron
前提知識
位相空間や連結空間やハウスドルフ空間の定義
をなんとなく眺めることができる程度の能力。
位相の雰囲気
集合 $X$ に対して、冪集合 $\pow{X}$ の部分集合 $\O \subseteq \pow{X}$ を考える。
ここでは、空集合 $\{\}$ と集合 $X$ を元 $\{\}, X \in \O$ として含むとする。
元 $U,V \in \O$ は集合であるから、
集合同士の和 $\cup$ や積 $\cap$ に対応するような、
$U \cup V$ や $U \cap V$ を計算できる。
$U \cup V$ や $U \cap V$ は
それぞれ合併集合や共通集合をあらわす。
例えば、３元集合 $X = \{a, b, c\}$ に対して、
冪集合 $\pow{X} = \{\{\}, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{b,c\}, \{c,a\}, \{a,b\}, X\}$
の部分集合 $\O = \{\{\}, \{a\}, \{a,b\}, X\} \subseteq \pow{X}$
を考える。
元 $\{a\}, \{a,b\} \in \O$ に関して
和 $\cup$ および積 $\cap$ を計算してみれば、
$\{a\} \cup \{a,b\} = \{a,b\} \in \O$
$\{a\} \cap \{a,b\} = \{a\} \in \O$
と結果もまた $\O$ の元であり、演算は閉じている。
他のすべての元に関しても演算は閉じていて、
このとき $\O$ を集合 $X$ 上の位相と呼べる。
例えば、部分集合 $\O = \{\{\}, \{a\}, \{b\}, X\} \subseteq \pow{X}$
を考えてしまうと、元 $\{a\}, \{b\} \in \O$ に関して
和の演算 $\{a\} \cup \{b\} = \{a,b\} \notin \O$
は閉じておらず、$\O$ を位相と呼ぶことはできない。
３元集合における位相
集合 $X$ に対する位相 $\O$ の定め方は複数あってよく、
$X$ が３元集合の場合にはぜんぶで２９通り存在する。
横並びは位相同型であり、９の位相が互いに異なる。
$\textcolor{red}{赤}$と$\textcolor{blue}{青}$が非連結すなわち$\textcolor{black}{黒}$が連結、
$\textcolor{blue}{青}$がハウスドルフ、ということになるはず。
