前提知識

標本空間 ... ある実験の可能な結果を表す点の集合をその実験の標本空間という
事象 (確率論) ... 標本空間の中であることが起こる確率を事象という
ある事象Aが起こる確率を$P\{A\}$ と書く

条件つき確率

$A_1$の起こることは確実であるという条件のもとに、ある事象$A_2$が起こるかどうかを知りたい
上記のような確率を$P \{ A_2 | A_1 \}$ すなわち $A_1$ の生起を条件とする条件つき確率と呼ぶ

$A_1$の起こる中でなおかつある事象$A_2$が起こる確率であるので、新しい確率は$A_1$を全ての標本空間とするものでなければいけない。つまり、$A_1$の確率を全部足したら１になるようにする。

$p_i$ 最初に割り当てた確率、$\pi_i$ 新しい確率として
cを適当な定数とする

$$1= \underset{A_1}{\sum} \pi _{i} = c \underset{A_1}{\sum} p_{i}=cP\left\{ A_{1}\right\}$$

$c = 1 / P\{A_1\}$ なので $\pi _{i}=\dfrac{p_{i} }{P\left\{ A_{1}\right\} }$

条件つき確率の新しい確率$\pi_i$は、元の確率$p_i$を$P\{A_1\}$で割ったものになる。まとめると…

$$ \begin{aligned} P\left\{ A_{2} | A_{1}\right\} = \underset{ A_{1}\cap A_{2} }{\sum} \pi _{i} &= \dfrac{ \underset{A_1 \cap A_2}{\sum} p_{i} }{P \left \{ A_{1} \right\} } \\ &= \dfrac{P\left\{ A_{1}\cap A_{2}\right\} }{P\left\{ A_{1}\right\} } \end{aligned} $$

というわけで、Wikipediaとかでよく見る条件つき確率の式になるみたい。