前提知識

• ラムゼーの定理(解説例)

問題

　 　 　 　 　

$$ 　$$

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解答は以下.

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$$ 　 　$$

　

　 　

解答

　6つの無理数をグラフの頂点とみなし, その6点間を結んで得られる完全グラフ$K$を考える. 以下のルールによって$K$の各辺を赤と青の2色に塗り分ける.

• 頂点$i,j$に対し, $i+j$が無理数なら辺$(i,j)$を赤色に塗る.
• 頂点$i,j$に対し, $i+j$が有理数なら辺$(i,j)$を青色に塗る.

　すると, ラムゼーの定理より全ての辺が同じ色である三角形$S$が存在します. $S$の辺が青色だったとしましょう. このとき$S$の頂点を$a,b,c$とすれば$a+b, b+c, c+a$がすべて有理数となりますが,

$$ a = \frac{1}{2} ((a+b) + (c+a) - (b+c))$$

も有理数となり矛盾します. ゆえに$S$の辺の色は赤色で, その3つの頂点を$p,q,r$とすれば$p+q, q+r, r+p$はすべて無理数です.