@mitstream
前提知識
$$\begin{aligned} &\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\\ &\sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos x\\ &\sin x \leq x \leq \tan x \left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right) \end{aligned}$$はじめに
以下の無限和を求めよ。
$$ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = ？ $$お前どんだけ好きやねんという話ですが、またしてもバーゼル問題のネタです。浅学な私の知る範囲で最も短い証明をご紹介いたします。前提知識は高校で習う$\sin x$の半角公式と、三角関数のグラフのみ。では早速参りましょう。
証明
$$\begin{aligned} \frac{1}{\sin^2 x} = \frac{1}{\displaystyle4\sin^2\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}} =&\frac{1}{4}\left[\frac{1}{\displaystyle\sin^2\frac{x}{2}}+\frac{1}{\displaystyle\cos^2\frac{x}{2}}\right]\\ =&\frac{1}{4}\left[\frac{1}{\displaystyle\sin^2\frac{x}{2}}+\frac{1}{\displaystyle\sin^2\frac{x+\pi}{2}}\right] \end{aligned}$$$x=\displaystyle\frac{\pi}{2}$として
$$\begin{aligned} 1 = &\frac{1}{4}\left[\frac{1}{\displaystyle\sin^2\frac{\pi}{2^2}}+\frac{1}{\displaystyle\sin^2\frac{3\pi}{2^2}}\right]\\ = &\frac{1}{4^2}\left[\frac{1}{\displaystyle\sin^2\frac{\pi}{2^3}}+\frac{1}{\displaystyle\sin^2\frac{3\pi}{2^3}}+\frac{1}{\displaystyle\sin^2\frac{5\pi}{2^3}}+\frac{1}{\displaystyle\sin^2\frac{7\pi}{2^3}} \right]\\ =& \cdots\\ =&\frac{1}{4^n}\sum_{k=1}^{2^{n}}\frac{1}{\sin^2 \frac{(2k-1)\pi}{2^{n+1}}}\\ =&\frac{2}{4^n}\sum_{k=1}^{2^{n-1}}\frac{1}{\sin^2 \frac{(2k-1)\pi}{2^{n+1}}} \end{aligned}$$$N = 2^{n-1}$として書き直して
$$\begin{aligned} 1=&\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{N^2\sin^2 \frac{(2k-1)\pi / 2^2}{N}}\\ \end{aligned}\\$$$0 \leq x \leq \displaystyle\frac{\pi}{2}$において$\displaystyle \frac{1}{\tan^2 x} = \frac{1}{\sin^2x}-1 \leq\frac{1}{x^2}\leq\frac{1}{\sin^2x}$なので
$$\begin{aligned} &\frac{1}{N^2\sin^2 \frac{(2k-1)\pi / 2^2}{N}}-\frac{1}{N^2} \leq\frac{1}{N^2\left( \frac{(2k-1)\pi / 2^2}{N}\right)^2} \leq \frac{1}{N^2\sin^2 \frac{(2k-1)\pi / 2^2}{N}}\\ &\Harr \frac{1}{N^2\sin^2 \frac{(2k-1)\pi / 2^2}{N}}-\frac{1}{N^2} \leq\frac{16}{\pi^2}\frac{1}{(2k-1)^2} \leq \frac{1}{N^2\sin^2 \frac{(2k-1)\pi / 2^2}{N}}\\ \end{aligned}\\$$これを$k$について$1$から$N$まで和を取って$N \to \infty$とすれば
$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^2}=\frac{\pi^2}{8}\\$$ここから直ちに
$$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}\\$$補足
1行目
$$ \begin{aligned} \frac{1}{\displaystyle4\sin^2\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}} =&\frac{1}{4}\left[\frac{1}{\displaystyle\sin^2\frac{x}{2}}+\frac{1}{\displaystyle\cos^2\frac{x}{2}}\right]\\ \end{aligned}$$これは逆向きに（右辺から左辺に向かって）計算してみれば分かると思います。
4から7行目
$$ \begin{aligned} 1 = &\frac{1}{4}\left[\frac{1}{\displaystyle\sin^2\frac{\pi}{2^2}}+\frac{1}{\displaystyle\sin^2\frac{3\pi}{2^2}}\right]\\ = &\frac{1}{4^2}\left[\frac{1}{\displaystyle\sin^2\frac{\pi}{2^3}}+\frac{1}{\displaystyle\sin^2\frac{3\pi}{2^3}}+\frac{1}{\displaystyle\sin^2\frac{5\pi}{2^3}}+\frac{1}{\displaystyle\sin^2\frac{7\pi}{2^3}} \right]\\ =& \cdots\\ =&\frac{1}{4^n}\sum_{k=1}^{2^{n}}\frac{1}{\sin^2 \frac{(2k-1)\pi}{2^{n+1}}}\\ \end{aligned}$$半角公式を繰り返し適用しています。ゆっくり書き下していけば納得できると思います。
7から8行目
恐らくここが最大の難所です。
$$ \begin{aligned} =&\cdots\\ =&\frac{1}{4^n}\sum_{k=1}^{2^{n}}\frac{1}{\sin^2 \frac{(2k-1)\pi}{2^{n+1}}}\\ =&\frac{2}{4^n}\sum_{k=1}^{2^{n-1}}\frac{1}{\sin^2 \frac{(2k-1)\pi}{2^{n+1}}} \end{aligned}$$ ここの変形の難しさは2つあります。1つは計算そのものの難しさ。もう1つは”なぜ”そのように式変形するのかという理由の難しさ。
後者に対する答えは「前提」の3つ目
を見据えて、和を取る全ての$\sin$ の中身を$0\leq x\leq \frac{\pi}{2}$としたいからです。
前者については
であることが納得できればよいのですが、そのためには例えば、左辺の和の最初の項と右辺の和の最後の項との間に$\displaystyle\sin\frac{\pi}{2^{n+1}} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{2^{n+1}}\right)$の関係が成立するように、右辺と左辺に一対ずつ$\sin x = \sin(\pi -x)$という関係を介して値が等しい項が存在することを見れば良いです。
12行目
$$\begin{aligned} &\frac{1}{N^2\sin^2 \frac{(2k-1)\pi / 2^2}{N}}-\frac{1}{N^2} \leq\frac{1}{N^2\left( \frac{(2k-1)\pi / 2^2}{N}\right)^2} \leq \frac{1}{N^2\sin^2 \frac{(2k-1)\pi / 2^2}{N}}\\ \end{aligned}\\$$中辺は$x=\displaystyle\frac{(2k-1)\pi/2^2}{N}$と見ることができれば問題ないと思います。$k$について和を取りますが、左辺が$2-\frac{1}{N}$、右辺が2になることを2行上の式から確認しましょう。
最後の行
全ての自然数は偶数か奇数のいずれかですから$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}$ を2つの部分に分けることができることを利用します。
$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}&= \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k)^2}+ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^2}\\ &= \frac{1}{2^2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^2}\\ \Harr \frac{3}{4}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}&=\frac{\pi^2}{8}\\ \Harr \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}&=\frac{\pi^2}{6}\\ \end{aligned}$$出典
THE MATHEMATICAL ASSOCIATION OF AMERICA [Monthly 109 February 2002]
