2. 級数

2.3. 自然数の逆数の和が発散すること

14 世紀フランスの万能な哲学者 Nicolas Oresme（ニコル・オレーム）が証明したとされる次の事実は高校の数学 III の教科書でも取り上げられている。

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=\infty.$$

この手の級数を扱う際に有効な方法は，高校の数学 B の数列の単元で習う群数列の考え方である。

数列 $(a_n)$ があるとして，これを項数が $\nu_{g}$ の群（グループ）に分ける。

第 $g$ 群の最後の項の通し番号は $\nu_{1}+\cdots+\nu_{g}$ となる。

さて，第 $g$ 群の中の最小数を $m_{g}$，最大数を $M_{g}$ とおき，第 $g$ 群の和を $s_{g}$ とおくと，

$$\nu_{g}m_{g}\le s_{g}\le \nu_{g}M_{g}$$

という不等式が成り立つ。

すべての $n$ につき $a_n$ が非負であるような正項級数を扱う場合には，その第 $n$ 部分和 $S_{n}=a_1+\cdots+a_n$ について，$a_n$ が $2$ 以上の $g$ に対して第 $g$ 群に属するとき，

$$s_{g-1}\le S_{n}\le s_{g}$$

が成り立つから，

$$\nu_{g-1}m_{g-1}\le S_{n}\le \nu_{g}M_{g}$$

が成り立つこととなる。

したがって，$\lim_{g\to\infty}\nu_{g}m_{g}=\infty$ ならば級数は発散し，$\lim_{g\to\infty}\nu_{g}M_{g}<\infty$ ならば級数は収束することがわかる。

それでは，この議論を自然数の逆数の和に適用してみよう。

数列 $\left(\frac{1}{n}\right)$ を，項数が $2^{g-1}=:\nu_{g}$ になるように分割する：

$$\frac{1}{1};\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3};\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{5},\ \frac{1}{6},\ \frac{1}{7};\ \cdots$$

第 $g$ 群の最後の項の番号（通し番号）は $2^{g}-1$ であり，この数列は単調に減少するから，上で述べたグループ内の最小数の役割を果たすものとして $m_{g}=\dfrac{1}{2^{g}}$ が取れる。

このとき，$\nu_{g}m_{g}=\frac{1}{2}$ であるから，$s_{g}=\frac{1}{2}g$ となり，これは $g\to\infty$ の極限において正の無限大に発散する。したがって級数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ も正の無限大に発散することとなる。

なお，第 $2^g$ 項までの部分和がおおよそ $\frac{1}{2}g$ 程度の大きさであり，
$g=\log_{2}2^g$ であることから，第 $n$ 項までの部分和は $\frac{1}{2}\log_{2}n$ 程度の大きさであろうと期待される。つまり，和は項数の対数オーダーで発散することが読み取れるわけであるが，定積分を利用するとこの観察が正しいことが容易に示せる。そのような手法は高校の数学 III の定積分の応用で学ぶ。