「2次体の整数環」の第2回です．
本記事では整数環の定義と最も基本的な整数環である$\mathbb{Q}$の整数環を調べます．このことを通して「整数環」という言葉の妥当性を把握してもらえるかと思います．

整数環

注意 2.1.2

(1) $K = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$は$\mathbb{Q}$の2次拡大なので$K$は2次体です．もちろん$\mathbb{Q}$も代数体です．

(2) 多く，代数体$K$の整数環は$\mathcal{O}_K$と書かれます．この$\mathcal{O}_K$は代数的整数環$\Omega$の元であって$K$の元であるものと考えることができます．つまり，次が成立します:

例 2.1.3 ($\mathcal{O}_\mathbb{Q}$の決定)

最も簡単な代数体である$\mathbb{Q}$の整数環$\mathcal{O}_{\mathbb{Q}}$を特定します．
定義 2.1.1を反芻すると$\mathcal{O}_{\mathbb{Q}}$とは$\mathbb{Q}$の元であって$\mathbb{Z}$上整な元全体の集合でした．

まず$\mathbb{Z}$の元$k$は必ず$x-k$という多項式の根になります．
したがって，$\mathbb{Z} \subseteq \mathcal{O}_{\mathbb{Q}}$が成り立ちます．

逆に$a \in \mathbb{Q}$を$\mathbb{Z}$上整であるとします．つまり$a \in \mathcal{O}_{\mathbb{Q}}$とします．
一般の有理数は二つの整数による既約分数の形で書き表されますから，$a$も$b,c \in \mathbb{Z}$を用いて$a = b/c$と表されます．但し簡略化のために$c > 0$で，$b$と$c$は互いに素であるとします．
$a$は$\mathbb{Z}$上整でしたから，

です．ここに$a = b/c$を代入し両辺を$c^n$倍して分母を払うと

となります．

ここで$c \neq 1$としてみます．すると上の式の両辺を$c$で割ってみると

となり，$b$と$c$は互いに素ではなくなります．
これは前提と矛盾するため，$c = 1$とならざるを得ません．
したがって，$a = b \in \mathbb{Z}$となり，$\mathcal{O}_{\mathbb{Q}} \subseteq \mathbb{Z}$と分かります．

以上のことから，$\mathcal{O}_{\mathbb{Q}} = \mathbb{Z}$となります．

つまり「有理数体の整数環は整数全体の集合」ということになります．
このようにしてみると定義 2.1.1で定めた「整数環」という概念は我々が一度は触れたことのある整数のある種の拡張になっていると考えることができます．
なお，この意味で$\mathbb{Z}$のことを「有理整数環」と呼ぶこともあります．

実はほぼ同じ流れで「$A$が一意分解整域であれば$A$の分数体における$A$の整閉包が$A$になる」というより一般的な事実が示されます．この「$A$の分数体における$A$の整閉包が$A$になる」という性質を満たす整域$A$を 整閉整域 (integrally closed ring) または 正規環 (normal ring) といいます．

まとめ

(1) 整数環とはある代数体の中で$\mathbb{Z}$上整である元を集めてきたもの
(2) $\mathbb{Q}$の整数環は$\mathbb{Z}$になる

参考文献

1: 整数論1 初等整数論から$p$進数へ．雪江明彦 著．