前提知識

クロソイド曲線とは、曲率を一定割合で変化させて描かれる曲線である。曲率半径と始点からの曲線長をそれぞれ$\displaystyle R$と$\displaystyle L$としたとき、両者の積は一定となる。

本項では、以下式番号(3)と(7)を導出する。

式番号	式	説明
(1)	$RL=A^2$	曲率半径$R$と曲線長$L$の積が定数(一定)
(2)	$\dfrac{d\tau}{dL}=\dfrac{1}{R}$	曲率の定義式: 曲線の曲がり具合を表す
(3)	$\tau = \dfrac{L^2}{2A^2} = \dfrac{L}{2R}$	接線角$\tau$はクロソイドパラメータ $A$ と曲線長 $L$ で決まる分母の$A^2$に(1)式を再代入
(4)	$L=A\sqrt{2\tau}$	(3)式を$L$について解く
(5)	$R=\dfrac{A^2}{L}=\dfrac{A}{\sqrt{2\tau}}$	(1)式に(4)式を代入
(6)	$dx = dL \cos\tau$ $dy = dL \sin\tau$	曲線の微小変化$dx,dy$は、曲線長の微小増分$dL$と接線方向角$\tau$を成す
(7)	$x = \dfrac{A}{\sqrt{2}}\displaystyle\int^\tau_0 \dfrac{\cos\tau}{\sqrt{\tau}}d\tau$　 $y = \dfrac{A}{\sqrt{2}}\displaystyle\int^\tau_0 \dfrac{\sin\tau}{\sqrt{\tau}}d\tau$	クロソイド曲線$(x,y)$は、クロソイドパラメータ$A$と接線方向角$\tau$で決まる

接線方向角$\tau$の導出

(1)式を$R$の式にした$R=\dfrac{A^2}{L}$を(2)式の右辺に代入すると、微分方程式$\dfrac{d\tau}{dL}=\dfrac{1}{R}=\dfrac{L}{A^2}$が得られる。これを$\tau$について解く。

$\tau = \displaystyle\int^L_0{\frac{d\tau}{dL}dL} = \int^L_0{\frac{L}{A^2}}dL = \frac{1}{A^2}\int^L_0{L}dL=\frac{1}{A^2}\cdot\frac{1}{2}L^2 = \frac{L^2}{2A^2}$

クロソイド曲線$(x,y)$の導出

(6)式から(7)式を導く。まず、(6)式に(4)式を代入して$\tau$で式をまとめる[^2]。

$\begin{aligned} dx & = dL\cos\tau= \dfrac{dL}{d\tau}\cos\tau d\tau = \dfrac{A}{\sqrt{2\tau}}\cos{\tau}d\tau \\ dy & = dL\sin\tau= \dfrac{dL}{d\tau}\sin\tau d\tau = \dfrac{A}{\sqrt{2\tau}}\sin{\tau}d\tau \end{aligned}$

したがって、(6)式は二つの微分方程式になる。

$\dfrac{dx}{d\tau} = \dfrac{A}{\sqrt{2\tau}}\cos{\tau}, \hspace{0.5cm} \dfrac{dy}{d\tau} = \dfrac{A}{\sqrt{2\tau}}\sin{\tau}$

これらの微分方程式を各々解く。

$\begin{aligned}　 x = \int^\tau_0 \frac{dx}{d\tau}d\tau=\int^\tau_0\dfrac{A}{\sqrt{2\tau}}\cos\tau d\tau = \dfrac{A}{\sqrt{2}}\int^\tau_0\frac{\cos\tau}{\sqrt{\tau}}d\tau \\ y = \int^\tau_0 \frac{dy}{d\tau}d\tau=\int^\tau_0\dfrac{A}{\sqrt{2\tau}}\sin\tau d\tau = \dfrac{A}{\sqrt{2}}\int^\tau_0\frac{\sin\tau}{\sqrt{\tau}}d\tau \end{aligned}$

(7)式がこれで導出された。

おわりに

本稿ではクロソイド曲線の微分方程式を解いた。具体的なクロソイド曲線の計算は別稿で記述する。