前提知識
クロソイド曲線とは、曲率を一定割合で変化させて描かれる曲線である。曲率半径と始点からの曲線長をそれぞれ$\displaystyle R$と$\displaystyle L$としたとき、両者の積は一定となる。
本項では、以下式番号(3)と(7)を導出する。
式番号 | 式 | 説明 |
---|---|---|
(1) | $RL=A^2$ | 曲率半径$R$と曲線長$L$の積が定数(一定) |
(2) | $\dfrac{d\tau}{dL}=\dfrac{1}{R}$ | 曲率の定義式: 曲線の曲がり具合を表す |
(3) | $\tau = \dfrac{L^2}{2A^2} = \dfrac{L}{2R}$ | 接線角$\tau$はクロソイドパラメータ $A$ と曲線長 $L$ で決まる 分母の$A^2$に(1)式を再代入 |
(4) | $L=A\sqrt{2\tau}$ | (3)式を$L$について解く |
(5) | $R=\dfrac{A^2}{L}=\dfrac{A}{\sqrt{2\tau}}$ | (1)式に(4)式を代入 |
(6) | $dx = dL \cos\tau$ $dy = dL \sin\tau$ |
曲線の微小変化$dx,dy$は、曲線長の微小増分$dL$と接線方向角$\tau$を成す |
(7) | $x = \dfrac{A}{\sqrt{2}}\displaystyle\int^\tau_0 \dfrac{\cos\tau}{\sqrt{\tau}}d\tau$ $y = \dfrac{A}{\sqrt{2}}\displaystyle\int^\tau_0 \dfrac{\sin\tau}{\sqrt{\tau}}d\tau$ |
クロソイド曲線$(x,y)$は、 クロソイドパラメータ$A$と接線方向角$\tau$で決まる |
接線方向角$\tau$の導出
(1)式を$R$の式にした$R=\dfrac{A^2}{L}$を(2)式の右辺に代入すると、微分方程式$\dfrac{d\tau}{dL}=\dfrac{1}{R}=\dfrac{L}{A^2}$が得られる。これを$\tau$について解く。
$\tau = \displaystyle\int^L_0{\frac{d\tau}{dL}dL} = \int^L_0{\frac{L}{A^2}}dL = \frac{1}{A^2}\int^L_0{L}dL=\frac{1}{A^2}\cdot\frac{1}{2}L^2 = \frac{L^2}{2A^2}$
クロソイド曲線$(x,y)$の導出
(6)式から(7)式を導く。まず、(6)式に(4)式を代入して$\tau$で式をまとめる[^2]。
$\begin{aligned} dx & = dL\cos\tau= \dfrac{dL}{d\tau}\cos\tau d\tau = \dfrac{A}{\sqrt{2\tau}}\cos{\tau}d\tau \\ dy & = dL\sin\tau= \dfrac{dL}{d\tau}\sin\tau d\tau = \dfrac{A}{\sqrt{2\tau}}\sin{\tau}d\tau \end{aligned}$
したがって、(6)式は二つの微分方程式になる。
$\dfrac{dx}{d\tau} = \dfrac{A}{\sqrt{2\tau}}\cos{\tau}, \hspace{0.5cm} \dfrac{dy}{d\tau} = \dfrac{A}{\sqrt{2\tau}}\sin{\tau}$
これらの微分方程式を各々解く。
$\begin{aligned} x = \int^\tau_0 \frac{dx}{d\tau}d\tau=\int^\tau_0\dfrac{A}{\sqrt{2\tau}}\cos\tau d\tau = \dfrac{A}{\sqrt{2}}\int^\tau_0\frac{\cos\tau}{\sqrt{\tau}}d\tau \\ y = \int^\tau_0 \frac{dy}{d\tau}d\tau=\int^\tau_0\dfrac{A}{\sqrt{2\tau}}\sin\tau d\tau = \dfrac{A}{\sqrt{2}}\int^\tau_0\frac{\sin\tau}{\sqrt{\tau}}d\tau \end{aligned}$
(7)式がこれで導出された。
おわりに
本稿ではクロソイド曲線の微分方程式を解いた。具体的なクロソイド曲線の計算は別稿で記述する。