前語り

部分分数分解って、地味に計算めんどいですよねー。部分分数分解の計算は、楽な方法があって、大学入るまでそれを知らなかったので、共有したいと思います。知ってる人からしたら、何を今更！という感じだと思います^^;

部分分数分解

本記事では、

$$\frac{1}{(s-1)^2(s-2)}$$

を例に説明したいと思います。部分分数分解とは、

$$\frac{1}{(s-1)^2(s-2)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{(s-1)^2}+\frac{C}{s-2}$$

が恒等的に成立する、$A,B,C$を計算する問題です。積分や逆ラプラス変換を考えると、よく出てきますよね。

解法1

個人的によく見る方法では、$(s-1)^2(s-2)$を両辺にかけて、連立方程式を導出します。つまり、

$$\begin{aligned} 1&=(s-1)(s-2)A+(s-2)B+(s-1)^2C \\ &=(A+C)s^2+(-3A+B-2C)s+2A-2B+C \end{aligned}$$

より、

$$\begin{cases} A+C &= 0 \\ -3A+B-2C & = 0\\ 2A-2B+C&=1 \end{cases}$$

を導出して、これを解きます。めんどいですよね、これ。

解法2

次は、殆ど暗算で出来る方法です。先程、

$$1=(s-1)(s-2)A+(s-2)B+(s-1)^2C$$

という式がありました。恒等式なので、これに$s=2$を代入してみます。すると、

$$1=C$$

が分かります。次に、$s=1$を代入してみます。すると、

$$1=-B$$

が分かります。最後に、$A$が知りたいので、適当に$s=3$を代入してみます。すると、

$$1=2A+B+4C $$

より、

$$A=-1$$

が得られます。解法1で導出した、連立方程式を満たす事も確認できます。

後語り

もっと楽な計算方法あったらぜひ教えて下さい！！