前語り
部分分数分解って、地味に計算めんどいですよねー。部分分数分解の計算は、楽な方法があって、大学入るまでそれを知らなかったので、共有したいと思います。知ってる人からしたら、何を今更！という感じだと思います^^;
部分分数分解
本記事では、
(s−1)2(s−2)1を例に説明したいと思います。部分分数分解とは、
(s−1)2(s−2)1=s−1A+(s−1)2B+s−2Cが恒等的に成立する、A,B,Cを計算する問題です。積分や逆ラプラス変換を考えると、よく出てきますよね。
解法1
個人的によく見る方法では、(s−1)2(s−2)を両辺にかけて、連立方程式を導出します。つまり、
1=(s−1)(s−2)A+(s−2)B+(s−1)2C=(A+C)s2+(−3A+B−2C)s+2A−2B+Cより、
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧A+C−3A+B−2C2A−2B+C=0=0=1を導出して、これを解きます。めんどいですよね、これ。
解法2
次は、殆ど暗算で出来る方法です。先程、
1=(s−1)(s−2)A+(s−2)B+(s−1)2Cという式がありました。恒等式なので、これにs=2を代入してみます。すると、
1=Cが分かります。次に、s=1を代入してみます。すると、
1=−Bが分かります。最後に、Aが知りたいので、適当にs=3を代入してみます。すると、
1=2A+B+4Cより、
A=−1が得られます。解法1で導出した、連立方程式を満たす事も確認できます。
後語り
もっと楽な計算方法あったらぜひ教えて下さい！！
@LOVE
これヘヴィサイドの展開定理っていう名前でちゃんと整理されてますよ。