2022/03/22 17:17 更新
任意の有理数は整数の3乗和の比で表せる
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定理

任意の有理数はある整数$a,b,c,d$を用いて$\displaystyle\frac{a^3+b^3}{c^3+d^3}$の形で表せる.

証明

有理数は整数$p,q$を用いて$p/q$と書けるが

$$\frac{(p+q)^3+(2p-q)^3}{(p+q)^3+(-p+2q)^3} = \frac{9p^3-9p^2q+9pq^2}{9p^2q-9pq^2+9q^3} = \frac{p}{q}.$$

 構成ゲーすぎた. 一応構成の仕方を書いとく.

$$ \frac{a^3+b^3}{c^3+d^3} = \frac{a+b}{c+d}\cdot\frac{a^2-ab+b^2}{c^2-cd+d^2}$$

なので

$$\begin{cases} a+b= p \\ c+d = q\\ a^2-ab+b^2 = c^2-cd+d^2 \end{cases}$$

なる$a,b,c,d$を見つければ終わる. とくに$a=c$と限定してしまって解が見つかればそれで良い.

$$\begin{cases} a+b= p \\ a+d = q\\ a^2-ab+b^2 = a^2-ad+d^2 = t \end{cases}$$

を考えると$b, d$は2次方程式$x^2-ax+a^2-t=0$の2解なので解と係数の関係から$b+d=a$が必要.

$$\begin{cases} a+b= p \\ a+d = q\\ b+d=a \end{cases}$$

を解くと, 上の構成例が得られる.

 vieta jumpingでも構成できる. まず有理数$r$と有理数$b,d$について, 次の$x,y$の方程式の有理数解を求める.

$$ x^3+b^3 = r(y^3+d^3).$$

$(x,y)=(-b, -d)$は自明な解だが, この点における接線を引き, 元の関数のグラフとの交点を考えればvieta jumping的に非自明な有理数解が出る. 有理数解が出ればそれらを適切に定数倍すれば所望の整数$a,b,c,d$が得られる.