2020/11/03 19:59 更新
チャンパノウン数
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今回のテーマは「チャンパノウン数」です。

チャンパノウン数

チャンパノウン数は,数学定数で$C_{10}$とあらわします。具体的な値は

$$C_{10}=0.123456789101112131415\cdots$$

のように小数点以下が自然数を順に並べた数で構成されています。
チャンパノウン数$C_{10}$は,単純な形で表せますが,無理数です。また,超越数でもあります。

$$\displaystyle C_{10}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\displaystyle \sum_{k=10^{n-1}}^{10^n-1}10^{-n\{ k-(10^{n-1}-1)\}}k}{10\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}9k\times 10^{k-1}}$$

とあらわすことができます。さらに,無理数は正則連分数展開が無限なので,$C_{10}$の正則連分数展開は

$$C_{10}=[0;8,9,1,149083,1,1,1,4,1,1,1,3,4,1,1,1,15,K,\cdots ]$$

とあらわすことができます。ここで,$K$は166桁の数を表しています。
突然ですが,問題です。次のような数について気が付いたことを述べよ。

$$0.4938271564044485256606\cdots$$

一見,何の変哲もない無理数のようですが,この数はチャンパノウン数を4倍して得られる数で,このように,規則性がある数に対し乗法や累乗などの演算を行うと,規則性が崩れることがあります。

チャンパノウン数の一般化

このチャンパノウン数は十進法で考えましたが,一般的に考えてみましょう。$r$進法におけるチャンパノウン数$C_r$とあらわします。
チャンパノウン数は自然数を小数点以下に並べた数ですが,素数を小数点以下に並べて表された数もあります。このような数はコープランド-エルデシュ数と呼ばれます。

皆さんも,興味深い無理数を探してみてください。